T6 - Ejercicio de conversión de actividad en dosis absorbida

Se pide analizar un caso en el cual se administra a un paciente 1mCi de Tecnecio 99. En concreto, se trata de extrapolar la dosis de radiación recibida a causa de la ingestión del tecnecio. Para ello se nos da varias vidas medias de persistencia en el cuerpo humano.
(a) 2 años
(b) 6 horas
(c) 2 min

Para comprender mejor el tipo de problema analítico al que nos enfrentamos, nos proponemos hallar esta dosis para un caso límite. La idea es quitar de la mesa uno de los factores a analizar, y simplificar el problema. Para ello, suponemos una vida media de persistencia en el cuerpo humano infinita, dando por bueno que la sustancia no desaparecerá por esta vía.

Al exponer al paciente a esta sustancia, este recibirá la energía de la desintegración de la misma en forma de radiación. En concreto, esta energía será igual a la debida a cada desintegración multiplicada por el número de desintegraciones de la sustancia. Para hallar el número de desintegraciones solo tendremos en cuenta la actividad de tal sustancia, ya que, en este caso, el cuerpo humano no tiene otra vía para deshacerse de la sustancia.

Como ya hemos visto en entradas anteriores, la actividad de un material radioactivo sigue una exponencial de este tipo:

Ya sabemos que este tipo de funciones tienen un límite horizontal en cero, por tanto, nunca se harán nulas. Estudiar el número de desintegraciones se convierte, entonces, en un problema de sumatorio infinito, o, lo que es lo mismo, un problema de integración.

En concreto necesitamos la integral de cero a infinito para la función dada. Esta nos dará el volumen debajo de la curva, es decir, el número total de desintegraciones de la sustancia dentro de cuerpo del sujeto.

Conociendo que la integral de la exponencial es ella misma, y que su valor con exponente cero e infinito es uno y cero respectivamente, tenemos que el número de desintegraciones será igual a la actividad inicial multiplicada por la constante radioactiva.

Este valor, multiplicado por la energía de una desintegración*, nos dará la energía total a la que se ha expuesto el sujeto.

*Concretamente el Tecnecio 99 emite radiación gamma, es decir, 140 keV por desintegración.

Una vez tenemos planteada la resolución para el caso límite, pasamos a analizar el caso general. En este, el Tecnecio va desapareciendo del cuerpo humano por dos vías, la propia desintegración radioactiva de la sustancia, y la actividad del organismo. 

Para tener en cuenta las influencias de ambos factores, y dado que ambos se caracterizan mediante una función exponencial, se usa un factor de esta combinado. Así, la lambda de la exponencial resultante dependerá de la vida media de ambos factores, es decir, tendremos una vida media efectiva, que cumplirá la siguiente ecuación:

Sustituyendo en la ecuación podemos verificar los casos límites. Sabemos que, si una de las vidas medias es mucho mayor que la otra, la ecuación se puede aproximar a la menor de ambas. Es precisamente el caso estudiado anteriormente, en el que la vida media por eliminación del organismo se modelaba como infinita, y por tanto mucho mayor que la de desintegración. Como resultado, la aportación de la mayor no es relevante, y solo aplica usar la menor.

Los casos dados se corresponden con las tres posibilidades en cuanto a la relación entre vidas medias. Conocida la vida media por desintegración del tecnecio, aproximadamente 6 horas, tenemos los siguientes casos para la vida media biológica

(a) 2 años: mucho mayor que la vida media debida a la desintegración radioactiva, no tendrá repercusión el efecto biológico. Caso estudiado en primer lugar.

(b) 6 horas: comparable a la vida media por desintegración (en este caso igual). Hay que tener en cuenta las dos vidas medias, la efectiva resultará la mitad de ambas, 3 horas. La energía será la mitad que en el caso estudiado.
 
(c) 2 min: resulta mucho menor que la vida media por desintegración, luego esta no es relevante para el cálculo. La exponencial tendrá una lambda correspondiente únicamente a la acción biológica del cuerpo humano.